II.PHẦN TỰ LUẬN: (6,0 điểm)

a) Cho \(\sin a = - \frac{1}{3}\) với \(a \in \left( {\pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Tính giá trị của \(\cos a\,\,,\,\,\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).

b)Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin 7x + \sin 4x + \sin x}}{{\cos 7x + \cos 4x + \cos x}}\) .

c) Giải phương trình \[2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \].      

Chọn D

Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\)

Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là \({S_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)\)

Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2019 (tính đến ngày thứ 89 - tháng 2 gồm 28 ngày; tháng 3 gồm 31 ngày và tháng 4 gồm 30 ngày) tổng số tiền bỏ heo là:

\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right)1000} \right]}}{2} = 4005000\)

a) Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[O = AC \cap BD \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có  \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)}\\{AD\parallel BC}\\{AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {SBC} \right)\,}\end{array}} \right.\]

Suy ra \[Sx = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] với \[Sx\parallel AD\parallel BC\]

b) Ta thấy \[SA \subset \left( {SAD} \right)\]

Trong \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \[E = AD \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Lại có \[P \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Suy ra \[PE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\]

Trong \[\left( {SAD} \right)\] gọi \[I = SA \cap PE\]

Mà \[PE \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow I = SA \cap \left( {MNP} \right)\]

c) Xét tam giác SAD có : \[I,\,P,E\] thẳng hàng và lần lượt thuộc SA,SD,AD

Theo định lý Menelaus ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.\frac{{PD}}{{PS}}.\frac{{EA}}{{ED}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{IS}}{{IA}}.1.\frac{{EA}}{{ED}} = 1\]

Lại có DE song song BC, suy ra \[\frac{{DE}}{{MC}} = \frac{{ND}}{{NC}} = 1 \Rightarrow DE = MC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}DA \Rightarrow \frac{{EA}}{{ED}} = 3\]

Khi đó ta có \[\frac{{IS}}{{IA}}.1.3 = 1 \Rightarrow \frac{{IS}}{{IA}} = \frac{1}{3}\].