Bạn Nam thả một quả bóng cao su theo phương thẳng đứng từ độ cao \(8m\)so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Khi đó tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc thả bóng đến khi bóng dừng hẳn gần bằng số nào dưới đây nhất?

   1. \(a)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \frac{1}{4}.\)

                     \(b)\,\lim \frac{{{3^n} - {{4.2}^n}}}{{{{3.2}^n} + {{4.3}^n}}} = \lim \frac{{1 - 4.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 4}} = \frac{1}{4}.\)

   1. Ta có:

              \[\left. \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) \\O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\]

              2. Ta có:

              \(OK//SD\)(tính chất đường trung bình)

            $\Rightarrow OK // \left(SCD\right)$

              \(OM//SC\)(tính chất đường trung bình)

            $\Rightarrow OM // \left(SCD\right)$

              Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \[\left( {OMK} \right)//\left( {SCD} \right).\]

              3. Gọi \[MN \cap SO = \left\{ I \right\}\]và \[PI \cap SD = \left\{ Q \right\}\].   

              \( \Rightarrow SD \cap \left( {MNP} \right) = \left\{ Q \right\}\).

              Ta có: \(M\) là trung điểm \(SA\)

              Mà \(MI//AO\)(vì \(MN//AC\))

              \( \Rightarrow I\) là trung điểm \(SO\)

              \[ \Rightarrow PI//SB\] hay \[PQ//SB\].

              Xét \[\Delta SBD\] có: \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{1}{4}\).