Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ đều nên \(BD \bot AC\) và \(BD \bot AA'\). Do đó \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

b) Ta có \(\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'\) mà \(AC \bot AA',AD \bot AA'\) nên

\(\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).

c) Ta có \(AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5 \); \(AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\); \(B'C' = a\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) vuông tại \(B'\).

Vì \(BC//B'C'\) nên \(BC//\left( {ADC'B'} \right)\).

Khi đó \(d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\).

Ta có \({V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Từ giả thiết suy ra \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ đứng.

Gọi \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Suy ra \(MM'//BB'\) mà \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(A'M'\) là hình chiếu của \(A'M\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Do đó \(\left( {A'M,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'M,A'M'} \right) = \widehat {MA'M'}\).

Ta có \(\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\) nên \(A'M' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(MM' = BB' = 2a\).

Vì \(MM' \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(MM' \bot A'M'\).

Xét \(\Delta A'M'M\) vuông tại \(M'\) , có \(\tan \widehat {MA'M'} = \frac{{MM'}}{{A'M'}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \approx 2,31\).

Trả lời: 2,31.