Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB,SC\) (tham khảo hình vẽ).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là điểm nào?    

Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot B'C'\\AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AM\end{array} \right.\).

Do đó \(d\left( {AM,B'C'} \right) = AA' = 2a\). Chọn A.

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ đều nên \(BD \bot AC\) và \(BD \bot AA'\). Do đó \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

b) Ta có \(\left( {ADD'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = AA'\) mà \(AC \bot AA',AD \bot AA'\) nên

\(\left( {\left( {ADD'} \right),\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {AD,AC} \right) = \widehat {DAC} = 45^\circ \).

c) Ta có \(AC' = \sqrt {{a^2} + {a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 5 \); \(AB' = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\); \(B'C' = a\). Suy ra \(\Delta AB'C'\) vuông tại \(B'\).

Vì \(BC//B'C'\) nên \(BC//\left( {ADC'B'} \right)\).

Khi đó \(d\left( {BC,\left( {ADC'B'} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\).

Ta có \({V_{B.AB'C'}} = \frac{1}{3}d \cdot {S_{AB'C'}} = {V_{A.BB'C'}} = \frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BB' \cdot B'C' = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

\(d = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{{S_{AB'C'}}}} = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

d) \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.