Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 2y - z + m = 0\) (\(m\)là tham số). Tìm giá trị \(m\) dương để khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng 1.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(A\left( {0;0;0} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0; - 1;0} \right)\).

Đặt \(M\left( {a;b;c} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b;c} \right)\).

Để cho \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {CD} \) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a + 0 = 0\\b + 0 = - 3\\c + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 3\\c = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(M\left( {0; - 3; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {EBD} \right)\) bằng

\(d\left( {M,\left( {EBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 3 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy khoảng cách cần tìm bằng \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

Vì \(AB = 4{\rm{dm}}\) và \(BC = 8{\rm{dm}}\)nên \(A\left( { - 2;4} \right),B\left( {2;4} \right),C\left( {2; - 4} \right),D\left( { - 2; - 4} \right)\).

Ta có \(\left( P \right):y = {x^2}\) hoặc \(y = - {x^2}\).

Diện tích phần tô đậm là \({S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \frac{{32}}{3}\)(dm²).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4.8 = 32\)(dm²).

Diện tích phần trắng là: \({S_2} = S - {S_1} = 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\)(dm²).