Tìm \(x > 0\) và \(y \in \mathbb{R}\) biết ba số \(5x - y;\,\,2x + 3y;\,\,x + 2y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số \({\left( {y + 1} \right)^2};\,\,xy + 1;\,\,{\left( {x - 1} \right)^2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.\,A'B'C'\). Gọi \(G,\,G',\,I\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,\,\,A'B'C',\,\,ABB'.\)

1) Chứng minh rằng:

     a) Mặt phẳng \(\left( {A'BG'} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {AGC'} \right).\)

     b) Đường thẳng \(IG'\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right).\)

2) Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(BB',\,\,CC'\). Đường thẳng \(d\) đi qua \[G\] cắt đường thẳng \(AB'\) tại \(H\) và cắt đường thẳng \[EF\] tại \(K\). Xác định các điểm \(H,\,\,K\) và tính \(\frac{{AH}}{{AB'}}.\)

Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]có \({u_1} = 3\) và công bội \[q = - 2\]. Số \( - \;384\) là số hạng thứ mấy ?

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng \(AB\) song song với đường thẳng nào?

Một bà lão bán hàng có một rổ cam lớn chứa rất nhiều quả cam. Có người mua nửa số cam của bà được bà tặng thêm nửa quả. Một người khác đến tiếp và mua một nửa số cam còn lại cũng được bà tặng nửa quả…Cứ như thế đến người thứ mười ba cũng mua và được tặng như trên thì vừa hết số cam. Hỏi rổ cam ban đầu của bà có bao nhiêu quả?

Biết\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{5x + \sqrt {9{x^2} + 2023x + 1} }}{{5x - 1}} = \frac{a}{b}\] với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,{\rm{ }}b \in \mathbb{N}*.\) Giá trị \(2a - b\) bằng

Tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt[3]{{x + 1}} - 2}}{x}.\)

Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\] bằng