Một nhóm học sinh có \[6\] học sinh nam và \[4\] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên \[2\] học sinh. Tính xác suất sao cho \[2\] học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Xét tam thức bậc hai \(f(x) =  - 86{x^2} + 86000x - 18146000\).

Nhận thấy \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} \approx 302,5;\,\,\,\,\,\,\,{x_2} \approx 697,5\) và hệ số \(a =  - 86 < 0\). Ta có bảng xét dấu sau:

Vì \(x\) là số nguyên dương nên:

Doanh nghiệp có lãi khi và chỉ khi \(f(x) > 0\), tức là \(303 \le x \le 697\).

Doanh nghiệp bị lỗ khi và chỉ khi \(f(x) < 0\), tức là \(x \le 302\) hoặc \(x \ge 698\).

Vậy doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm, doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm.

a) Sai: Doanh nghiệp bị lỗ khi bán từ 303 đến 698 sản phẩm.

b) Sai: Doanh nghiệp có lãi khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 697 sản phẩm

c) Đúng: Doanh nghiệp có lãi khi bán từ 303 đến 697 sản phẩm.

d) Đúng: Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm

Không gian mẫu có \(A_{35}^3\) phần tử.

Có \(15\) cách chọn 1 học sinh nam và \(C_{20}^2\) cách chọn 2 học sinh nữ vào ban cán sự.

Sau khi chọn được 3 người, có \(3!\) cách phân chức vụ.

Suy ra có \(3!.15.C_{20}^2\) cách chọn ban cán sự lớp theo yêu cầu.

Vậy xác suất cần tính là \(\frac{{3!.15.C_{20}^2}}{{A_{35}^3}} = \frac{{570}}{{1309}}\).