Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) (tham khảo hình vẽ).

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trả lời: \((SC,(SAB)) \approx {12,1^0}\)

Lời giải

Kẻ \(CI \bot AB \Rightarrow I\) là trung điểm \(AB\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CI \bot AB}\\{CI \bot SB}\end{array} \Rightarrow CI \bot (SAB)} \right.\) tại \(I\) và \(SC\) cắt mp\((SAB)\) tại \(S\)

\( \Rightarrow SI\) là hình chiếu của \(SC\) trên mp \((SAB)\)

\( \Rightarrow (SC,(SAB)) = (SC,SI) = \widehat {CSI}\)

Ta có: \(IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{(4a)}^2} + {a^2}}  = \sqrt {17} a\)

Xét \(\Delta SCI\) vuông tại \(I\): \(\sin \widehat {CSI} = \frac{{CI}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {17} a}} = \frac{{\sqrt {51} }}{{34}} \Rightarrow \widehat {CSI} \approx {12,1^0}\)

Vậy \((SC,(SAB)) \approx {12,1^0}\).

Trả lời: \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)