Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC = x\) \(\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng \(1\) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{\sqrt a }}{b}\) \(\left( {a,b \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) \({a^2} - 2b < 30\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(SA = SB = SD\) nên \(H \in AO\) với \(O\) là trung điểm của \(BD\)
Ta xét hai tam giác \(SBD\) và \(ABD\) có cạnh \(BD\) chung, \(SB = AB\), \(SD = AD\) nên \(\Delta SBD = \Delta ABD\) suy ra \(AO = SO = OC\) do đó \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\).
Ta có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {1 + {x^2}} \) \( \Rightarrow BO = \frac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\)\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{2}\) \(\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\)
Mặt khác \(SH = \frac{{SA.SC}}{{\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} }}\)\( = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{6} \le \frac{1}{4}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi\({x^2} = 3 - {x^2}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 2\end{array} \right.\). Suy ra \({a^2} - 8b = 20\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(a\sqrt 2 \).
Lời giải
Ta có \(AA'\,{\rm{// }}\left( {DD'C'C} \right) \supset CM\)\( \Rightarrow d\left( {AA',CM} \right) = d\left( {AA',\left( {DD'C'C} \right)} \right) = AD = a\).
Câu 2
a) Xác suất để An ném trước mà vào rổ là \(\frac{{25}}{{30}}\).
b) Xác suất để An ném sau mà vào rổ là \(\frac{{22}}{{30}}\).
c) Xác suất để An ném vào rổ là \(\frac{{47}}{{120}}\).
Lời giải
|
a) Đúng |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Xác suất để An ném trước mà vào rổ là \(\frac{{25}}{{30}}\).
Xác suất để An ném sau mà vào rổ là \(\frac{{22}}{{30}}\).
Do việc ném trước hay sau đều là ngẫu nhiên nên xác suất ném trước và ném sau đều bằng \(\frac{1}{2}\).
Xác suất để An ném vào rổ là \(\frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{25}}{{30}} + \frac{{22}}{{30}}} \right) = \frac{{47}}{{60}}\).
Tương tự tính được xác suất để Bình ném vào rổ là \(\frac{5}{6}\).
Ta thấy xác suất An ném trước mà vào rổ là \(\frac{{25}}{{30}}\), ném sau mà vào rổ là \(\frac{{22}}{{30}}\). Bình cũng có sự khác nhau như vậy nên việc ném bóng vào rổ của An và Bình sẽ phụ thuộc vào việc được ném trước hay ném sau. Hay biến cố ném bóng vào rổ của An và Bình không độc lập với việc chọn thứ tự ném.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(AN \bot BC\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(12{a^3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập