Sau một tháng thi công, công trình xây dựng lớp học từ thiện cho học sinh vùng cao đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, đơn vị xây dựng quyết định từ tháng thứ hai tăng \(4\% \) khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 14\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + 2 = 16\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + {2^{ - x}} = 4\\{2^x} + {2^{ - x}} =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 4\) (vì \({2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)).

Vậy \(P = 4\).

a) Sai: Vì số tiền lãi năm đầu tiên bằng số tiền gửi nhân với lãi suất: \(300 \times 6\%  = 18\) triệu đồng.

b) Đúng: Áp dụng công thức: \[{T_n} = A.{\left( {1 + r} \right)^n}\].

Theo giả thiết \[A = 300\,000\,0\]; \(r = 6\% \) nên suy ra số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) năm gửi tiền là \({T_n} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) đồng

c) Sai: Vì số tiền ông nhận được sau \(5\) năm gửi là \({T_5} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^5} \approx 401467673\) đồng, nhỏ hơn \(410\) triệu đồng.

d) Đúng: Công thức tính số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) năm gửi tiền là \({T_n} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) đồng.

Theo giả thiết ta có \({T_n} > 500\,000\,000\)\( \Leftrightarrow \)\(300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 500\,000\,000\)

\( \Leftrightarrow \)\(n > {\log _{\left( {1 + 6\% } \right)}}\frac{5}{3} \approx 8,77\).

Vậy sau ít nhất \(9\) năm thì ông \(X\) thu được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn \(500\) triệu đồng.