Sau một tháng thi công, công trình xây dựng lớp học từ thiện cho học sinh vùng cao đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 23 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để sớm hoàn thành công trình và kịp thời đưa vào sử dụng, đơn vị xây dựng quyết định từ tháng thứ hai tăng \(4\% \) khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?

Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{{24}}\) ( công trình )

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là: \({T_2} = \frac{1}{{24}} + 0,04.\frac{1}{{24}} = \frac{1}{{24}}{\left( {1 + 0,04} \right)^1}\)

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

\({T_3} = \left( {\frac{1}{{24}} + 0,04.\frac{1}{{24}}} \right) + 0,04.\left( {\frac{1}{{24}} + 0,04.\frac{1}{{24}}} \right)\) \( = \frac{1}{{24}}.{\left( {1 + 0,04} \right)^2}\)

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \({T_n} = \frac{1}{{24}}.{\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}}\)

Ta có: \(\frac{1}{{24}}.{\left( {1 + 0,04} \right)^0} + \frac{1}{{24}}.{\left( {1 + 0,04} \right)^1} + ... + \frac{1}{{24}}.{\left( {1 + 0,04} \right)^{n - 1}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{24}}.\frac{{1 - {{\left( {1 + 0,04} \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0,04} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {1 + 0,04} \right)^n} = \frac{{49}}{{25}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 0,04}}\frac{{49}}{{25}} \approx 17,2\)

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \[18\] từ khi khởi công.