Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) có \(AC = a\sqrt 3 \), cạnh bên \(AA' = 3a\). Tính góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 14\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + 2 = 16\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 16\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} + {2^{ - x}} = 4\\{2^x} + {2^{ - x}} =  - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 4\) (vì \({2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)).

Vậy \(P = 4\).

a) Sai: Vì số tiền lãi năm đầu tiên bằng số tiền gửi nhân với lãi suất: \(300 \times 6\%  = 18\) triệu đồng.

b) Đúng: Áp dụng công thức: \[{T_n} = A.{\left( {1 + r} \right)^n}\].

Theo giả thiết \[A = 300\,000\,0\]; \(r = 6\% \) nên suy ra số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) năm gửi tiền là \({T_n} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) đồng

c) Sai: Vì số tiền ông nhận được sau \(5\) năm gửi là \({T_5} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^5} \approx 401467673\) đồng, nhỏ hơn \(410\) triệu đồng.

d) Đúng: Công thức tính số tiền nhận được cả gốc và lãi sau \(n\) năm gửi tiền là \({T_n} = 300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) đồng.

Theo giả thiết ta có \({T_n} > 500\,000\,000\)\( \Leftrightarrow \)\(300\,000\,000.{\left( {1 + 6\% } \right)^n} > 500\,000\,000\)

\( \Leftrightarrow \)\(n > {\log _{\left( {1 + 6\% } \right)}}\frac{5}{3} \approx 8,77\).

Vậy sau ít nhất \(9\) năm thì ông \(X\) thu được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn \(500\) triệu đồng.