Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\]. \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\sqrt 6 \] (hình vẽ). Gọi \[\alpha \] là góc giữa đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\]. Tính \[\sin \alpha \] ta được kết quả là:

Dựng \(Bx//AC \Rightarrow AC//(SBx)\)

Suy ra \(d(AC,SB) = d(AC,(SBx)) = d(A,(SBx))\)

Dựng và chứng minh được \(d(A,(SBx)) = AK\)

Ta có: \(\Delta AHB\) vuông cân tại \(H\) nên \(AH = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có:

\(AK = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{(3a)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} }} = \frac{{3\sqrt {19} }}{{19}}a\)

Vậy \(d(AC,SB) = \frac{{3\sqrt {19} }}{{19}}a\).

Kẻ \(MH \bot AC\)

Ta có: \(MH \bot SA \Rightarrow MH \bot (SAC)\) tại \(H\) và \(SM\) cắt mp \((SAC)\) tại \(S\)

\( \Rightarrow SH\) là hình chiếu của \(SM\) trên mp \((SAC)\)

\( \Rightarrow (SM,(SAC)) = (SM,SH) = \widehat {MSH}\)

Ta có: \(HM = MC \cdot \sin {60^^\circ } = \frac{a}{2} \cdot \sin {60^^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\);

\(HC = MC \cdot \cos {60^^\circ } = \frac{a}{4} \Rightarrow AH = AC - HC = a - \frac{a}{4} = \frac{{3a}}{4}\)

Ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}}  = \sqrt {{{(a\sqrt 5 )}^2} - {a^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {73} }}{4}a\)

Xét \(\Delta SHM\) vuông tại \(H:\tan \widehat {MSH} = \frac{{HM}}{{SH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt {73} a}}{4}}} = \frac{{\sqrt {219} }}{{73}} \Rightarrow \widehat {MSH} \approx {11,5^0}\)