Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot (ABCD),SA = 2a,ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\). Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\).

Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(DM\) với \(M\) là trung điểm \(OC\).

Kẻ \(SK \bot DM\) tại \(K \Rightarrow d(S,DM) = SK\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{DM \bot SA}\\{DM \bot SK}\end{array} \Rightarrow DM \bot (SAK) \Rightarrow DM \bot AK} \right.\)

Ta có:

\( \Rightarrow \frac{{KA}}{{OD}} = \frac{{AM}}{{DM}} \Rightarrow KA = \frac{{AM \cdot OD}}{{DM}} = \frac{{\frac{3}{4}a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}a\)

Ta có: \(SK = \sqrt {S{A^2} + A{K^2}}  = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{5}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\)

Vậy \(d(S,DM) = \frac{{\sqrt {190} }}{5}a\).