Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "16"

Phương pháp giải

Đặt \(t = 2 + \sin x\) khảo sát hàm \(g(t)\)

Lời giải

Đặt \(t = 2 + \sin x \in [1;3] \Rightarrow g(t) = \left| {{t^3} - 3t - m} \right|,t \in [1;3] \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) + \mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 50\)

Xét hàm số: \(y = {t^3} - 3t - m \Rightarrow {y^\prime } = 3{t^2} - 3 \ge 0\forall t \in [1;3]\).

\(y(1) =  - m - 2,y(3) = 18 - m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\} \\\left[ \begin{array}{l}\mathop {min}\limits_{[1;3]} g(t) = \min \{ | - m - 2|;|18 - m|\} \\\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: Nếu \( - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m <  - 2\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = |18 - m| = 18 - m}\\{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = | - 2 - m| =  - m - 2}\end{array} \Rightarrow  - 2 - m + 18 - m = 50 \Leftrightarrow m =  - 17\,\,(t/m)} \right.\)

Trường hợp 2: Nếu \(18 - m < 0 \Leftrightarrow m > 18\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = |18 - m| = m - 18}\\{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = | - 2 - m| = m + 2}\end{array} \Rightarrow m + 2 + m - 18 = 50 \Leftrightarrow m = 33\,\,(t/m)} \right.\)

Trường hợp 3: Nếu \(( - m - 2)( - m + 18) \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 18\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\} }\\{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 0}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Nhận xét: \(\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\}  < 50,\forall m \in [ - 2;18] \Rightarrow m \in \emptyset \).

Vậy \(S = \{  - 17;33\} \) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng 16.