Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 10\); và điểm \(A\left( {4;1} \right)\). 

a) Đúng: Thay \(x = 4,y = 1\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ta có: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {1^2} = 10\).

Do đó \(A \in \left( C \right)\).

b) Sai: Bán kính của \(\left( C \right)\) bằng \(\sqrt {10} \). Do đó đường kính của \(\left( C \right)\) là \(2\sqrt {10} \).

c) Đúng: Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) có \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IA}  = \left( {3;1} \right)\).

d) Sai:Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) có \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {IA}  = \left( {3;1} \right)\) nên có phương trình là \(3x + y - 13 = 0\).

Thay \(x = 4,y = 3\) vào phương trình tiếp tuyến ta có: \(3.4 + 3 - 13 = 2 \ne 0\). Do đó \(N\)không thuộc tiếp tuyến.