Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 5 m, rộng 20 m. Khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m lên đến nóc nhà vòm bằng \(\frac{{a\sqrt b }}{c}\) với \(a,\,b,\,c\) là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b - c\).

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] với gốc tọa độ tại tâm đáy nhà vòm, trục tung thẳng đứng.

Nhà vòm có dạng nửa elip nên có phương trình chính tắc của elip là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] (\[a,\,b > 0\]).

Ta có chiều cao của nhà vòm là 5m nên \[OA = h = 5\], chiều rộng của nhà vòm là 20m nên\[BC = 2OB = 20\]. Suy ra \[OB = 10\].

Ta có tọa độ các điểm: \[C\left( {10;\,0} \right)\] và \[A\left( {0;\,5} \right)\]. Thay hai điểm này vào phương trình chính tắc, ta có

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 5.\end{array} \right.\]

Suy ra phương trình miêu tả hình dáng nhà vòm là \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\].

Điểm cách chân tường 5m tương ứng cách tâm 5m (vì từ tâm vòm đến tường là 10m).

Thay \[x = 5\] vào phương trình \[\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\], ta tìm được \[y = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\].

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = a + 2b - c = 5 + 2.3 - 2 = 9\).