Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí \(I\left( {x;y} \right)\) và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí \(O\left( {0;0} \right),A\left( {1;0} \right),B\left( {1;3} \right)\) nhận được cùng một thời điểm. Tính \(x + y\).

a) \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;3} \right)\).

b) \(\overrightarrow {AC} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {26} \).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 1;y} \right)\).

Theo đề \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {0;5} \right)\).

d) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Do đó \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 2 = 0\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Ta có \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{13}}{2} = 6,5\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.

a) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta có \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {DE} \) \( = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BE} - \left( {\overrightarrow {BE} - \overrightarrow {BD} } \right) = 2\overrightarrow {BD} - 2\overrightarrow {BE} \).

c) Do \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(E\) là trung điểm cạnh \(AD\) nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \).

d) Có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).

Theo giả thiết, hai đường thẳng \(BE,AC\) vuông góc nhau nên ta có:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}{\overrightarrow {BC} ^2} = 0\)\( \Leftrightarrow B{C^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 8\)\( \Rightarrow BC = 2\sqrt 2 \).

Do \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AD = BC = 2\sqrt 2 \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.