PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Cho đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và hình phẳng được tô màu như hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng đó (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời: 23,9

Đặt \(O\) là vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có \(M\left( {18;17;21} \right)\).

Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường bằng nhau nên tâm của quả bóng có tọa độ là \(I\left( {r;r;r} \right)\).

Do \(M\) nằm trên bề mặt bóng nên khoảng cách từ tâm I đến M chính bằng r.

Do đó ta có \(\sqrt {{{\left( {18 - r} \right)}^2} + {{\left( {17 - r} \right)}^2} + {{\left( {21 - r} \right)}^2}} = r\)\( \Leftrightarrow 3{r^2} - 112r + 1054 = {r^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{r^2} - 112r + 1054 = 0\)\( \Leftrightarrow r \approx 44,03\) hoặc \(r \approx 11,96\).

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên chọn \(r \approx 11,96\).

Do đó đường kính của bóng rổ khoảng 23,9 cm.

Trả lời: 9,8

Gọi parabol \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Parabol \(y = f\left( x \right)\) nhận \(Oy\) làm trục đối xứng nên ta có \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\). Lại có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {0; - 1} \right)\) và điểm \(\left( {2;0} \right)\) nên \(a = \frac{1}{4}\) và \(c = - 1\).

Vậy parabol \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1\).

Tương tự, ta cũng có parabol \(y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) là:

\(\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6 \) hoặc \(x = - \sqrt 6 \).

Khi đó, diện tích của logo là:

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \\\,\,\, = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9,8\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\end{array}\].