Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d\)đi qua điểm \(M\left( {3;\, - 1;\,4} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;\,4;\,5} \right)\). Phương trình của \(d\)là:    

Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục \(Ox\)(đơn vị trên trục là đềximét), biết đường cong trong hình là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {x + 1} \), đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 2;4} \right),B\left( { - 2;6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(N\) là điểm di động thuộc \(d.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN.\)

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ \(Oxyz\) để theo dõi vị trí của quả bóng M. Cho biết \[M\] đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 32} \right)^2} + {\left( {y - 50} \right)^2} + {\left( {z - 8} \right)^2} = 100\) (đơn vị độ dài tính theo mét). Tính khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) với \(J\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên mặt sân.