Bạn An mang 250000 đồng đi nhà sách để mua một số quyển vở và bút. Biết rằng giá một quyển vở là 7000 đồng và giá của một cây bút là 5000 đồng. Bạn An có thể mua được tối đa bao nhiêu quyển vở nếu bạn đã mua 10 cây bút.

Có \(2x - 5y + m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \ge - 2x + 5y\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left( I \right)\) thì \(m \ge \max \left( { - 2x + 5y} \right)\) với mọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left( I \right)\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\)( kể cả cạnh của tam giác) (phần tô màu) với \(A\left( {2;3} \right),B\left( {8;3} \right),C\left( {4;1} \right)\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = - 2x + 5y\) đạt được tại một trong ba điểm \(A\left( {2;3} \right),B\left( {8;3} \right),C\left( {4;1} \right)\)

Ta có \(F\left( {2;3} \right) = - 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 11\); \(F\left( {8;3} \right) = - 2 \cdot 8 + 5 \cdot 3 = - 1\); \(F\left( {4;1} \right) = - 2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 = - 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = - 2x + 5y\) là 11.

Do đó \(m \ge 11\).

Vì m nhỏ nhất nên \(m = 11\).