Cho tam giác \(ABC\) có \(CA > CB\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Các tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại \(M.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(MO\) và \(AC.\)

1) Chứng minh rằng tứ giác \(OCMA\) nội tiếp và \(HA = HC.\)

2) Vẽ \(CK\) vuông góc với \(AB\,\,\left( {K \in AB} \right)\) và \(HE\) vuông góc với \(CK\,\,\left( {E \in CK} \right).\) Chứng minh rằng \(HE \cdot CM = HM \cdot CH\) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OKH\) nằm trên đường thẳng \(OC.\)

3) Chứng minh rằng ba điểm \(M,\,\,E,\,\,B\) thẳng hàng.

1) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)

Ta có bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau: \(x\) \[--2\] \[--1\] \[0\] \[1\] \[2\] \(y = - 2{x^2}\) \( - 8\) \( - 2\) \[0\] \( - 2\) \( - 8\) Vẽ các điểm \(\left( { - 2; - 8} \right),\) \(\left( { - 1; - 2} \right),\) \(\left( {0;0} \right),\) \(\left( {1; - 2} \right),\) \(\left( {2; - 8} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Vẽ đường parabol đi qua năm điểm trên, ta nhận được đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}\) (hình vẽ). ⦁ Vẽ đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4.\) Cho \(x = 0\) ta có \(y = - 4.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0; - 4} \right).\)

Đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\) và \(y = - 2x - 4\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

Cho \(y = 0\) ta có \(x = - 2.\) Đồ thị hàm số đi qua điểm \(B\left( { - 2;0} \right).\)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 2;0} \right)\) ta được đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) (hình vẽ).

2) ⦁ Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số \(y = - 2x - 4\) và \(y = - 2{x^2},\) khi đó ta có:   \({y_0} = - 2{x_0} - 4\) và \({y_0} = - 2x_0^2.\)

Suy ra \( - 2{x_0} - 4 = - 2x_0^2\) hay \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\)

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình \(x_0^2 - {x_0} - 2 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm là \({x_0} = - 1\) và \({x_0} = 2.\)

Với \({x_0} = - 1,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 2;\)

Với \({x_0} = 2,\) ta có \({y_0} = - 2 \cdot 2 - 4 = - 8.\)

Vậy tọa độ giao điểm \(C,\,\,D\) của hai đồ thị là: \(C\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(D\left( {2; - 8} \right),\) hoặc \(C\left( {2; - 8} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 2} \right).\)

⦁ Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) chính là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(y = - 2x - 4.\)

Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) xuống đường thẳng \[CD,\] ta có \(OH \bot CD.\)

Ta có \(A\left( {0; - 4} \right),\,\,B\left( { - 2;0} \right)\) suy ra \(OA = 4,\,\,OB = 2.\)

Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(O,\) có:

⦁ \(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2}\) (định lí Pythagore)

Suy ra \(AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 .\)

⦁ \(\sin \widehat {OBA} = \frac{{OA}}{{AB}}.\)

Xét \(\Delta OBH\) vuông tại \(H,\) có: \(\sin \widehat {OBH} = \frac{{OH}}{{OB}}.\)

Suy ra \(\frac{{OA}}{{AB}} = \frac{{OH}}{{OB}},\) do đó \(OH = \frac{{OA \cdot OB}}{{AB}} = \frac{{4 \cdot 2}}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD\) bằng \(\frac{{4\sqrt 5 }}{5}.\)

1) Ta có:

\(A = \sqrt 9 + \sqrt {12} + \sqrt {27} - 5\sqrt 3 \)\( = \sqrt {{3^2}} + \sqrt {{2^2} \cdot 3} + \sqrt {{3^2} \cdot 3} - 5\sqrt 3 \)

 \( = 3 + 2\sqrt 3 + 3\sqrt 3 - 5\sqrt 3 \)\( = 3 + \left( {2 + 3 - 5} \right) \cdot \sqrt 3 \)\( = 3.\)

Vậy \(A = 3.\)

2) Với \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) ta có:

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{x - 2\sqrt x }}} \right)\)

\( = \frac{{\sqrt x - 2 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{4}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x \left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right) \cdot \sqrt x \cdot \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}.\)

Như vậy, với \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\)

Khi đó, để \(B < 0\) thì \(\frac{2}{{\sqrt x - 2}} < 0,\) tức là \(\sqrt x - 2 < 0,\) suy ra \(\sqrt x < 2,\) nên \(x < 4.\)

Đối chiếu điều kiện \(x > 0\) và \(x \ne 4,\) ta được \(0 < x < 4.\)

Vậy với \(0 < x < 4\) thì \(B < 0.\)