Cho hai hàm số \(y =  - 2{x^2}\) và \(y =  - 2x - 4.\)

1) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

2) Tìm tọa độ hai giao điểm \(C,\,\,D\) của hai đồ thị đó. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(CD.\)

1) Với \(m = 2\) thì phương trình \(\left( * \right)\) trở thành \({x^2} + 6x + 8 = 0.\)

Phương trình trên có \({\rm{\Delta '}} = {3^2} - 1 \cdot 8 = 1 > 0\) và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{ - 3 + 1}}{1} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 3 - 1}}{1} = - 4.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = - 4.\)

2) Xét phương trình \({x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0\,\,\,\left( {\rm{*}} \right)\)

Ta có \({\rm{\Delta '}} = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {6m - 4} \right) = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4\)

\( = {m^2} - 4m + 5 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Do đó phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2m - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x_1}{x_2} = 6m - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Do \({x_1}\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) nên ta có:

\(x_1^2 + 2\left( {m + 1} \right){x_1} + 6m - 4 = 0\) hay \(x_1^2 + 6{x_1} + 9 = 4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13\)

Thay vào \(\left( {4{x_1} - 2m{x_1} - 6m + 13} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\) ta được

\(\left( {x_1^2 + 6{x_1} + 9} \right)x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\)

\({\left( {{x_1} + 3} \right)^2}x_2^2 - 24{x_1} - 100 = 0\)

\({\left( {{x_1}{x_2} + 3{x_2}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\) \(\left( {**} \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(2m = - 2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) nên \(6m = - 6 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

Thay vào\(\left( 2 \right)\) ta được: \({x_1}{x_2} = - 6 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4,\) hay \[{x_1}{x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3{x_1}.\,\,\,\left( 3 \right)\]

Thay vào \(\left( {**} \right)\) ta được: \({\left( { - 10 - 3{x_1}} \right)^2} - 24{x_1} - 100 = 0\)

 \(9x_1^2 + 60{x_1} + 100 - 24{x_1} - 100 = 0\)

 \(9x_1^2 + 36{x_1} = 0\)

 \(9{x_1}\left( {{x_1} + 4} \right) = 0\)

 \({x_1} = 0\) hoặc \({x_1} = - 4.\)

Với \({x_1} = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta có \[6m - 4 = 0,\] nên \[m = \frac{2}{3};\]

Với \({x_1} = - 4\) thay vào \(\left( 3 \right)\) ta có \[\left( { - 4} \right) \cdot {x_2} + 3{x_2} = - 10 - 3 \cdot \left( { - 4} \right),\] suy ra \[ - {x_2} = 2,\] nên \({x_2} = - 2.\)

Do đó \({x_1} + {x_2} = - 6,\) tức là \( - 2m - 2 = - 6,\) nên \(m = 2.\)

Vậy \(m \in \left\{ {\frac{2}{3};\,\,2} \right\}.\)

1) Gọi tuổi em là \(x\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},\,\,0 < x < 24} \right).\)

Do anh hơn em 6 tuổi nên tuổi anh là \(x + 6.\)

Tổng số tuổi của hai anh em là 24 nên ta có phương trình: \(x + \left( {x + 6} \right) = 24.\)

Hay \(2x + 6 = 24,\) suy ra \(2x = 18,\) nên \(x = 9.\)

Vậy tuổi em là 9 tuổi, tuổi anh là \(9 + 6 = 15\) tuổi.

2) Gọi vận tốc xe máy là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó vận tốc ô tô là \(x + 20\) (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Quảng Ngãi cho đến khi gặp ô tô là: 1 giờ + 30 phút \[ = 1,5\] giờ.

Quãng đường xe máy đi từ Quảng Ngãi cho đến khi gặp ô tô là: \(1,5x\) (km).

Thời gian ô tô đi từ Đà Nẵng cho đến khi gặp ô tô là 1 giờ.

Quãng đường ô tô đi từ Đà Nẵng cho đến khi gặp ô tô là: \(1 \cdot \left( {x + 20} \right) = x + 20\) (km).

Do quãng đường từ thành phố Quảng Ngãi đến thành phố Đà Nẵng dài \(120{\rm{\;km}}\) nên ta có phương trình: \(1,5x + x + 20 = 120\) hay \(2,5x = 100,\) suy ra \(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là \(40\) km/h và vận tốc của ô tô là \(40 + 20 = 60\) km/h.