Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( {O\,;R} \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \((B,C\) là các tiếp điểm), \(AO\) cắt \(BC\) tại \(K\).
1) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp và \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)
2) Gọi \(P\) là điểm bất kì thuộc \(\left( O \right)\) sao cho tia \(BO\) nằm giữa hai tia \(BP\) và \(BC,H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(B\) xuống \(PC,M\) là trung điểm \(BH\) và \(PM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(Q\) (khác \(P).\) Chứng minh \(\widehat {QMK} = \widehat {QCA}\).
3) Chứng minh \(\widehat {AQC} = 90^\circ \) và \(AC = 2R\,{\rm{tan}}\widehat {CPQ}\).
Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( {O\,;R} \right)\), kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \((B,C\) là các tiếp điểm), \(AO\) cắt \(BC\) tại \(K\).
1) Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp và \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)
2) Gọi \(P\) là điểm bất kì thuộc \(\left( O \right)\) sao cho tia \(BO\) nằm giữa hai tia \(BP\) và \(BC,H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(B\) xuống \(PC,M\) là trung điểm \(BH\) và \(PM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(Q\) (khác \(P).\) Chứng minh \(\widehat {QMK} = \widehat {QCA}\).
3) Chứng minh \(\widehat {AQC} = 90^\circ \) và \(AC = 2R\,{\rm{tan}}\widehat {CPQ}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
a) Vì \(AB,\,\,AC\) là tiếp tuyến nên \(\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \). Xét tứ giác \(ABOC\) có \(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\) Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \(ABOC\) nội tiếp. |
 |
Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); \(OB = OC = R\).
Suy ra \(AO\) là đường trung trực của \(BC\) (đpcm).
b) Do \(K\) là trung điểm \(BC,M\) là trung điểm \(BH\) nên \(KM\) là đường trung bình \(\Delta BCH.\)
Suy ra \(KM\,{\rm{//}}\,CH\) nên \(\widehat {QMK} = \widehat {QPC}\) (đồng vị)
Vì \(\Delta OCQ\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OCQ} = \widehat {OQC}.\)
Suy ra \(\widehat {OCQ} = \widehat {OQC} = \frac{{180^\circ - \widehat {COQ}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {COQ}}}{2}.\)
Vì \[AC\] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[C\] nên \(OC \bot CA\) hay \(\widehat {OCA} = 90^\circ \).
Suy ra \[\widehat {ACQ} = 90^\circ - \widehat {OCQ}\]\[ = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {COQ}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {COQ}}}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác nên \[\widehat {QPC} = \frac{{\widehat {COQ}}}{2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\widehat {QCA} = \widehat {QPC}\). Vậy \(\widehat {QMK} = \widehat {QCA}\).
c) Kẻ \(AQ\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E.\)
Xét \(\Delta ACQ\) và \(\Delta AEC\) có \(\widehat {CAE}\) chung; .
Do đó
Suy ra \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AQ}}{{AC}}\) hay
Xét \(\Delta ACK\) và \(\Delta AOC\) có \(\widehat {AKC} = \widehat {ACO} = 90^\circ \); \(\widehat {ACK} = \widehat {AOC}\) (cùng phụ \(\widehat {OCK}\,)\).
Do đó .
Suy ra \(\frac{{AC}}{{AK}} = \frac{{AO}}{{AC}}\) hay
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(AK \cdot AO = AE \cdot AQ\) hay \(\frac{{AK}}{{AQ}} = \frac{{AE}}{{AO}}\).
Xét \(\Delta AKQ\) và \(\Delta AEO\) có \(\widehat {OAE}\) chung; \(\frac{{AK}}{{AQ}} = \frac{{AE}}{{AO}}\) (chứng minh trên).
Do đó . Suy ra \(\widehat {AKQ} = \widehat {AEO}\).
|
Chứng minh bổ đề: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}.\) Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.
Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta BFK\) có: \(\widehat {AFD} = \widehat {BFK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {ADF} = \widehat {BKF}\) (chứng minh trên) Do đó suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{KF}}\) nên \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}.\) Xét \(\Delta DFK\) và \(\Delta AFB\) có: \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}\) và \[\widehat {DFK} = \widehat {AFB}\] (đối đỉnh) Do đó suy ra \(\widehat {FDK} = \widehat {FAB}.\,\,\,\left( 7 \right)\) ⦁ Ta có \(\widehat {ABK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABK} = 90^\circ ,\) do đó \(\Delta ABK\) vuông tại \(B,\) suy ra \(\widehat {FAB} + \widehat {AKB} = 90^\circ .\,\,\,\left( 8 \right)\) Từ \(\left( 6 \right),\,\,\left( 7 \right),\,\,\left( 8 \right)\) suy ra \(\widehat {ADB} + \widehat {FDK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ADK} = 90^\circ .\) Khi đó \(\Delta ADK\) vuông tại \(D\) nên điểm \(D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AK.\) Suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AK.\) |
Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác \(ACKQ\) có \(\widehat {AKQ} = \widehat {AEO}\) nên tứ giác \(ACKQ\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {AQC} = \widehat {AKC} = 90^\circ \).
Do \(\widehat {AQC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {CQE} = 90^\circ \) nên \(CE\) là đường tròn đường kính của \[\left( O \right)\].
Suy ra ba điểm \(E,\,\,O,\,\,C\) thẳng hàng nên \(\widehat {CPQ} = \widehat {CEQ}\).
Ta có \(\tan \widehat {CPQ} = \tan \widehat {CEQ} = \frac{{AC}}{{EC}} = \frac{{AC}}{{2R}}\).
Do đó \(AC = 2R\tan \widehat {ACQ} = 2R\tan \widehat {CPQ}\) (đpcm).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là \[30{\rm{ m}}\] và chiều rộng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid4-1766231096.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
|
a) Gọi các phần còn lại lần lượt là \(A\) và \(B\) (như hình vẽ). Biểu thức biểu thị cạnh còn thiếu của \(A\) là: \(20 - y.\) Biểu thức biểu thị diện tích phần \(A\) là: \({S_A} = 15\left( {20 - y} \right) = 300 - 15y.\) |
![Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là \[30{\rm{ m}}\] và chiều rộng (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/blobid3-1766231067.png) |
Biểu thức biểu thị cạnh còn thiếu của \(B\) là: \(30 - 15 - x = 15 - x.\)
Biểu thức biểu thị diện tích phần \(B\) là: \({S_B} = 20\left( {15 - x} \right) = 300 - 20x.\)
Vậy biểu thức là \(15\left( {20 - y} \right) + 20\left( {15 - x} \right) = 600 - 20x - 15y\).
b) Thay \(x = 2,4\) và \(y = 1,8\) vào \(S,\) ta được:
.
Vậy diện tích phần còn lại của khu vườn là \(525\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\) nên áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{4}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \[A = {x_1}x_2^2 + {x_2}\left( {x_1^2 + 2} \right) + 2{x_1} = {x_1}x_2^2 + {x_2}x_1^2 + 2{x_2} + 2{x_1}\]
\[ = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \left( {{x_1}{x_2} + 2} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right).\]
Thay \(\left( 1 \right)\) vào biểu thức \(A,\) ta có \[A = \left( {\frac{{ - 2}}{3} + 2} \right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{{16}}{9}.\] Vậy \[A = \frac{{16}}{9}.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập