Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2.\end{array} \right.\)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Điều kiện xác định: \(x \ge 5.\)

Từ phương trình \(\left( 2 \right)\) ta có \(2\sqrt {x - 5} + {y^2} - 2y + 1 = 3\) hay \(2\sqrt {x - 5} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3.\,\,\,\left( 3 \right)\)

Do đó ta có hệ phương trình mới là: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {x - 5} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình \(\left( 3 \right)\) với \(3,\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4\\6\sqrt {x - 5} + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 9.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai và phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

\(5\sqrt {x - 5} = 5,\) suy ra \(\sqrt {x - 5} = 1,\) do đó \(x - 5 = 1\) nên \(x = 6\) (thỏa mãn \(x \ge 5).\)

Thay \(\sqrt {x - 5} = 1\) vào phương trình \(\left( 1 \right),\) ta được: \(1 + 3{\left( {y - 1} \right)^2} = 4,\) nên \({\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)

Do đó \(y - 1 = 1\) hoặc \(y - 1 = - 1\)

Suy ra \(y = 2\) hoặc \(y = 0.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {6;2} \right);\,\,\left( {6;0} \right).\)