Cho tập \(S = \left\{ {1;2; \ldots ;19;20} \right\}\) gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc \(S\). Xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là

Đáp án

\(\frac{3}{{38}}\).

Giải thích

Ta có: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{20}^3\).

Gọi A là biến cố. "ba số lấy được lập thành cấp số cộng ".

Giả sử ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, khi đó ta có \(a + c = 2b\). Hay \(a + c\) là một số chẵn và mỗi cách chọn 2 số a và c thỏa mãn \(a + c\) là số chẵn sẽ có duy nhất cách chọn B. Số cách chọn hai số có tổng chẵn sẽ là số cách chọn ba số tạo thành cấp số cộng.

TH1. Hai số lấy được đều là số chẵn, có: \(C_{10}^2\) cách lấy.

TH2. Hai số lấy được đều là số lẻ có: \(C_{10}^2\) cách lấy

\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{10}^2 + C_{10}^2\)

\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{10}^2 + C_{10}^2}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{38}}\).