Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi theo đường vòng theo đường gấp khúc ACDB như hình vẽ. Biết rằng AC = 400 m, CD = 500 m, DB = 400 m và \(\widehat {ACD} = 138^\circ ,\widehat {CDB} = 122^\circ \). Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ  \Rightarrow BC \approx 789\)(m).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:

\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ  - 25,5^\circ  = 112,5^\circ \).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ  \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).

Trả lời: 1012.