Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao \(AB = 70\;{\rm{m}}\), phương nhìn \(AC\) tạo với phương nằm ngang góc \(30^\circ \), phương nhìn \(BC\) tạo với phương nằm ngang góc \(60^\circ \). Tính chiều cao ngọn núi so với mặt đất.

Lời giải

\(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha  + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha  - {{\cos }^4}\alpha }}\)\( = \frac{{3\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5 \cdot \frac{1}{{{{\cos }^4}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^4}\alpha }}{{{{\cos }^4}\alpha }} - 1}}\)\( = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha  \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\tan }^4}\alpha  - 1}}\)

\( = \frac{{3 \cdot {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2}} \right) + 5 \cdot {{\left( {1 + {3^2}} \right)}^2}}}{{{3^4} - 1}} = \frac{{77}}{8}\).

Lời giải

a) Với \(0^\circ  < \alpha  < 90^\circ \) thì \(\sin \alpha  > 0\).

Khi đó \(\sin \alpha  \cdot \cos \alpha  > 0\).

b) Có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\). Suy ra \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

c) \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}:\frac{1}{3} = 2\sqrt 2 \).

d) \[\frac{{6\sqrt 2 \sin \alpha  + 3\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \tan \alpha  + 2\sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sqrt 2  \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}}}{{\sqrt 2  \cdot 2\sqrt 2  + 2\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{9}{5}\].

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;   c) Sai;     d) Đúng.