Cho \(0 < \alpha  < 180^\circ \) với \(\tan \alpha  = 3\). Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha  + 5}}{{{{\sin }^4}\alpha  - {{\cos }^4}\alpha }}\).

Lời giải

\(P = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}2^\circ  + {\cos ^2}3^\circ  + ... + {\cos ^2}178^\circ  + {\cos ^2}179^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\[P = 2{\cos ^2}1^\circ  + 2{\cos ^2}2^\circ  + ... + 2{\cos ^2}89^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].

Trả lời: 90.

Lời giải

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ  \Rightarrow BC \approx 789\)(m).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:

\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ  - 25,5^\circ  = 112,5^\circ \).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ  \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).

Trả lời: 1012.