a) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) = x + \sqrt {x + 2} \)
b)Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = xy + x - y + 2}\\{{x^3} + {y^3} = y\left( {x + y + 4} \right) + x}\end{array}} \right.\)
a) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) = x + \sqrt {x + 2} \)
b)Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = xy + x - y + 2}\\{{x^3} + {y^3} = y\left( {x + y + 4} \right) + x}\end{array}} \right.\)Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) = x + \sqrt {x + 2} \)
Điều kiện tồn tại phương trình: \(x \ge 1\)
Biến đổi:
\(2\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right) = x + \sqrt {x + 2} \)
\( \Leftrightarrow \left( {2\sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3x - 6}}{{2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 2} }} - \left( {x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\frac{3}{{2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 2} }} - 1} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 2} = 3\;\;\;\left( * \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (*) suy ra \({\left( {2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 2} } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 5x - 2 + 4\sqrt {{x^2} + x - 2} = 9\)
\( \Leftrightarrow 4\sqrt {{x^2} + x - 2} = 11\; \Rightarrow 16\left( {{x^2} + x - 2} \right) = {\left( {11 - 5x} \right)^2}\;\;\;\left( {**} \right)\)
Giải (**) cho hai nghiệm \(x = 7 - 4\sqrt 2 \) và \(x = 7 + 4\sqrt 2 \). Thay các nghiệm này vào (*) thì
\(x = 7 + 4\sqrt 2 \) không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x = 2;x = 7 - 4\sqrt 2 .\)
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = xy + x - y + 2}\\{{x^3} + {y^3} = y\left( {x + y + 4} \right) + x}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - xy + {y^2} = x - y + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{\left( {x + y} \right)({x^2} - xy + {y^2} = xy + {y^2} + 4y + x\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Thế (1) và (2) ta được: \(\left( {x + y} \right)\left( {x - y + 2} \right) = xy + {y^2} + 4y + x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - xy - 2{y^2} + x - 2y = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2y}\\{x = - y - 1}\end{array}} \right.\)
Với \(x = 2y\), thay vào (1) ta có:
\(4{y^2} - 2{y^2} + {y^2} = y + 2 \Leftrightarrow 3{y^2} - y - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y = - \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\) và \(\left( {x;y} \right) = ( - \frac{4}{3}; - \frac{2}{3}\)
Với \(x = - y - 1\), thế vào (1) ta được:
\({\left( {y + 1} \right)^2} + \left( {y + 1} \right)y + {y^2} = - y - 1 - y + 2 \Leftrightarrow 3{y^2} + 5y = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\) và \(x;y) = \left( {\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right)\).
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \in \left\{ {\left( {2;1} \right),\;\left( { - \frac{4}{3};\; - \frac{2}{3}} \right),\;\;\left( { - 1;0} \right),\;\;\left( {\frac{2}{3};\frac{5}{3}} \right)} \right\}\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Tứ giác AOMN là hình bình hành.
Kẻ đường kính AK (K nằm trên đường tròn (O)). Khi đó \(AC \bot CK;BK \bot AB\).
Dễ dàng suy ra \(BK//CH\) và \(CK//BH\) (cùng vuông góc với một đường thẳng).
Từ đó suy ra BHCK là hình bình hành. Vì M là trung điểm BC nên \(M \in HK\) và \(MH = MK\).
Tam giác AHK có M và N lần lượt là trung điểm của HK và AH nên MN là đường trung bình của . Suy ra \(MN//AO\) và \(MN = \frac{1}{2}AK = AO.\)
Vậy AOMN là hình bình hành.
\(b)\;A{P^2} = A{Q^2} = AE.AC.\)
Tam giác AFH vuông tại F suy ra \(FN = NH\). Tương tự, vuông tại E nên \(NE = NH\). Như vậy \(NF = NE\;\;\;\left( 1 \right)\).
Lại có và lần lượt vuông tại F và E, có các đường trung tuyến lần lượt là MF và ME. Do đó \(MF = ME = \frac{1}{2}BC\;\;\;\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra MN là trung trực của EF. Suy ra \(EF \bot MN\;\;\;\left( 3 \right)\).
Lại có \(MN//AO\), kết hợp với (3) suy ra \(AO \bot EF\) hay \(AO \bot PQ\). Suy ra A là điểm chính giữa cung PAQ, suy ra \(AP = AQ\) hay cung AQ bằng cung AP.
Mặt khác, \(\widehat {AQP} = \widehat {APQ} = \widehat {ACQ}\) (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau). Nên .
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AQ}} = \frac{{AQ}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = A{Q^2}\)
Vậy \(A{P^2} = A{Q^2} = AE.AC\)
c) Tứ giác DMEF nội tiếp và \(\frac{{FP}}{{PS}} = \frac{{QE}}{{ES}}\)
Tứ giác BFEC nội tiếp suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}.\)
Tam giác EMC cân tại M nên \(\widehat {MEC} = \widehat {ACB}\).
Suy ra \(\widehat {FEM} = {180^0} - \widehat {AEF} - \widehat {MEC} = {180^0} - \widehat {ABC} - \widehat {ACB} = \widehat {BAC}.\)
Tứ giác DFAC nội tiếp nên \(\widehat {FDM} + \widehat {BAC} = {180^0}\). Suy ra \(\widehat {FEM} = \widehat {FDM} = {180^0}\)
Vậy tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp.
Hai tam giác SDF và SEM có:
\(\widehat {SDF} = \widehat {SEM};\) chung \(\widehat {DSF}\) nên chúng đồng dạng
Suy ra \(\frac{{SD}}{{SF}} = \frac{{SE}}{{SM}}\) hay \(SD.SM = SE.SF\).
Từ tứ giác BFEC nội tiếp, ta cũng suy ra \(SE.SF = SB.SC\), tứ giác BCQP nội tiếp ta cũng có \(SB.SQ = SP.SQ\).
Suy ra \(SP.SQ = SE.SF\) \( \Rightarrow \frac{{SF}}{{SP}} = \frac{{SQ}}{{SE}}\)
Vậy \(\frac{{SF}}{{SP}} - 1 = \frac{{SQ}}{{SE}} - 1\) hay \(\frac{{SF - SP}}{{SP}} = \frac{{SQ - SE}}{{SE}} \Rightarrow \frac{{PF}}{{PS}} = \frac{{EQ}}{{SE}}\)
Lời giải
a) Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số thực khác 0 thỏa mãn: \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3}\) =1 và \(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z}\) = 0. Chứng minh rằng: \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9}\) =1
Bằng cách quy đồng mẫu số ta được:
\(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} \Rightarrow yz + 2zx + 3xy = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
Lại có:
\({\left( {x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3}} \right)^2} = {x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9} + 2\left( {\frac{{xy}}{2} + \frac{{yz}}{6} + \frac{{zx}}{3}} \right)\)
\(\; = {x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9} + \frac{{3xy + yz + 2xz}}{3} = 1\;\;\;\left( 2 \right)\)
Kết hợp (1) và (2) ta được: \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9}\) =1
b) Cho \(f\left( n \right) = \) \(\frac{2}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\) với n là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức:
\(S = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {40} \right)\)
Biến đổi:
\(f\left( n \right) = \frac{2}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\)
\( = \frac{{2\left( {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} } \right)}}{{\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)}}\;(\;do\;\sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} \ne 0\)
\( = \sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} \)
Như vậy:
\(S = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {40} \right)\)
\( = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) + \left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right) + \ldots + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {79} } \right)\)
\( = \sqrt {81} - \sqrt 1 = 9 - 1 = 8\)
Vậy giá trị \(S = 8\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập