Người ta dự định xây một bồn trồng hoa hình vuông và một bồn trồng cây hình vuông khác. Hãy tìm độ dài cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây để tổng chu vi của chúng là 48 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất (làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).
Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là \(x\), \(y\) (m).
\(\left( {x,y > 0} \right)\)
Chu vi của bồn trồng hoa là: \(4x\) (m).
Chu vi của bồn trồng cây là: \(4y\) (m).
Tổng chu vi của các bồn là: \(4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0\).
Diện tích của bồn trồng hoa là: \({x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích của bồn trồng cây là: \({y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có: \(S = {x^2} + {y^2}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt S \) và đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\).
Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.
Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).
Ta có: \(OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)
Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.\).
Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. 1 nghiệm;
B. 2 nghiệm;
C. 3 nghiệm;
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \)
\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 1 = - {x^2} + 3x - 1\)
\( \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Với \(x = 2\), ta có: \(\sqrt {{2^2} - 2.2 + 1} = 1 = \sqrt { - {2^2} + 3.2 - 1} \), do đó, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Với \(x = \frac{1}{2}\), ta có: \(\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) + 1} = \frac{1}{2} = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}} \right) - 1} \) , do đó, \(x = \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt { - {x^2} + 3x - 1} \) có hai nghiệm.
Câu 2
A. 1 nghiệm;
B. 2 nghiệm;
C. 3 nghiệm;
D. Vô nghiệm.
Lời giải
Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1} \)
\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 1\)
\( \Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)
\( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 2\)
Với \(x = 1\) ta có: \(\sqrt {{1^2} - 2.1 + 3} = \sqrt 2 = \sqrt {{{3.1}^2} - 1} \), do đó, \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Với \(x = - 2\) ta có: \(\sqrt {{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 3} = \sqrt {11} = \sqrt {3.{{( - 2)}^2} - 1} \), do đó, \(x = - 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1} \) có hai nghiệm.
; 
;
; 
.Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\);
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = t - 3\end{array} \right.\);
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập