Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).

Vì \(\Delta ABC\) đều mà \(AM\) là trung tuyến nên \(AM \bot BC\) (1).

Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AH\) mà \(AH \bot SM \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Khi đó ta có \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\). Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\).

\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].