Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 3}  = x - 5\) là

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) =  - 2{x^2} + 30x\) (m2).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:

\(S\left( x \right) =  - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a =  - 2 < 0\)

\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).

Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)

\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số \(y = 4{x^2} - 2x + 5\) là parabol có bề lõm hướng lên trên (do \(a = 4 > 0\)) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh parabol.

Hoành độ đỉnh parabol là: \(x = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.4}} = \frac{1}{4}\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \({y_{\min }} = 4.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 2.\frac{1}{4} + 5 = \frac{{19}}{4}\).