Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \). Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:

\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)

Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1}  = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \)   (thỏa mãn)

Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1}  = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \)           (thỏa mãn)

Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1}  = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.