(1,5 điểm)

Biểu đồ hình quạt tròn dưới đây biểu diễn tần số tương đối của các môn thể thao được yêu thích của học sinh THCS của \(1\) trường hiện nay:  

 

Hãy lập bảng tần số tương đối của biểu đồ trên và cho biết môn thể thao nào được học sinh THCS của \(1\) trường yêu thích nhất?

Gọi số tiền cô Linh đầu tư cho khoản thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(x;y\) (triệu đồng, \(0 < x;y < 500\))

Theo đề bài ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\5\% .x + 6\% .y = 28\end{array} \right.\)

Giải được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 300\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy cô Linh đầu tư \(200\) triệu vào khoản thứ nhất và \(300\) triệu vào khoản thứ hai.

a)  = 900( vì KA là tiếp tuyến của (O) (gt))

 = 900( )

Suy ra tam giác KAO vuông tại A, tam giác KHO vuông tại H

 Nên A, H thuộc đường tròn đường kính OK

Vậy tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn.

b) Các đỉnh \(H,B,A\) cùng nhìn cạnh \(OK\) dưới một góc vuông

 nên năm điểm \(K,A,B,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK\) suy ra  \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AO\)).

 Xét tam giác \(IAH\) và tam giác \(IOB\) có:

 \(\widehat {HIA} = \widehat {BIO}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) ( cmt ).

Do đó .

c) Gọi \(M\) là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có \(OA = OB = R\) nên OK là đường trung trực của AB, suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M\) và \(MA = MB\).

Ta có: \(\Delta OMI \sim \Delta OHK\;(g.g)\) suy ra  \(OI = \frac{{OK.OM}}{{OH}} = \frac{{O{A^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\).

Xét \(\Delta OAK\) vuông tại \(A\), có \(O{A^2} = OM \cdot OK \Leftrightarrow OM = \frac{{O{A^2}}}{{OK}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \frac{R}{2} = \frac{{3R}}{2}\)

\(A{M^2} = OM \cdot KM = \frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta OMI\) vuông tại \(M\), có \(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt 3 }}{6}\)

Suy ra \(AI = AM + MI = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} + \frac{{R\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích \(\Delta AKI\) là \(S = \frac{1}{2}AI \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} \cdot \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\).