Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.

Gọi số tiền cô Linh đầu tư cho khoản thứ nhất và thứ hai lần lượt là \(x;y\) (triệu đồng, \(0 < x;y < 500\))

Theo đề bài ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\5\% .x + 6\% .y = 28\end{array} \right.\)

Giải được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 300\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy cô Linh đầu tư \(200\) triệu vào khoản thứ nhất và \(300\) triệu vào khoản thứ hai.

a)  = 900( vì KA là tiếp tuyến của (O) (gt))

 = 900( )

Suy ra tam giác KAO vuông tại A, tam giác KHO vuông tại H

 Nên A, H thuộc đường tròn đường kính OK

Vậy tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn.

b) Các đỉnh \(H,B,A\) cùng nhìn cạnh \(OK\) dưới một góc vuông

 nên năm điểm \(K,A,B,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK\) suy ra  \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AO\)).

 Xét tam giác \(IAH\) và tam giác \(IOB\) có:

 \(\widehat {HIA} = \widehat {BIO}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) ( cmt ).

Do đó .

c) Gọi \(M\) là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có \(OA = OB = R\) nên OK là đường trung trực của AB, suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M\) và \(MA = MB\).

Ta có: \(\Delta OMI \sim \Delta OHK\;(g.g)\) suy ra  \(OI = \frac{{OK.OM}}{{OH}} = \frac{{O{A^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\).

Xét \(\Delta OAK\) vuông tại \(A\), có \(O{A^2} = OM \cdot OK \Leftrightarrow OM = \frac{{O{A^2}}}{{OK}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \frac{R}{2} = \frac{{3R}}{2}\)

\(A{M^2} = OM \cdot KM = \frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta OMI\) vuông tại \(M\), có \(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt 3 }}{6}\)

Suy ra \(AI = AM + MI = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} + \frac{{R\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích \(\Delta AKI\) là \(S = \frac{1}{2}AI \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} \cdot \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\).