Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và một đường thẳng \(d\) không cắt đường tròn \((O)\). Dựng đường thẳng \(OH\) vuông góc với đường thẳng \(d\) tại điểm \(H\). Trên đường thẳng \(d\) lấy điểm \(K\) (khác  điểm \(H\)), qua \(K\) vẽ hai tiếp tuyến \(KA\) và \(KB\)  với đường tròn \((O)\), (\(A\) và \(B\) là các tiếp điểm) sao cho \(A\) và \(H\) nằm về hai phía của đường thẳng \(OK\).

a)  Chứng minh tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn.

b)  Đường thẳng \(AB\) cắt đường thẳng \[OH\] tại điểm \(I\). Chứng minh rằng \(IA \cdot IB = IH \cdot IO\).

c)  Khi \(OK = 2R,\;OH = R\sqrt 3 \). Tính diện tích \(\Delta KAI\) theo \(R\).

a)  = 900( vì KA là tiếp tuyến của (O) (gt))

 = 900( )

Suy ra tam giác KAO vuông tại A, tam giác KHO vuông tại H

 Nên A, H thuộc đường tròn đường kính OK

Vậy tứ giác \(KAOH\) nội tiếp được trong đường tròn.

b) Các đỉnh \(H,B,A\) cùng nhìn cạnh \(OK\) dưới một góc vuông

 nên năm điểm \(K,A,B,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OK\) suy ra  \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AO\)).

 Xét tam giác \(IAH\) và tam giác \(IOB\) có:

 \(\widehat {HIA} = \widehat {BIO}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {AHI} = \widehat {ABO}\) ( cmt ).

Do đó .

c) Gọi \(M\) là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có \(OA = OB = R\) nên OK là đường trung trực của AB, suy ra \(AB \bot OK\) tại \(M\) và \(MA = MB\).

Ta có: \(\Delta OMI \sim \Delta OHK\;(g.g)\) suy ra  \(OI = \frac{{OK.OM}}{{OH}} = \frac{{O{A^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{R\sqrt 3 }} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}\).

Xét \(\Delta OAK\) vuông tại \(A\), có \(O{A^2} = OM \cdot OK \Leftrightarrow OM = \frac{{O{A^2}}}{{OK}} = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}\)

Suy ra \(KM = OK - OM = 2R - \frac{R}{2} = \frac{{3R}}{2}\)

\(A{M^2} = OM \cdot KM = \frac{R}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow AM = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)

Xét \(\Delta OMI\) vuông tại \(M\), có \(MI = \sqrt {O{I^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{R\sqrt 3 }}{6}\)

Suy ra \(AI = AM + MI = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} + \frac{{R\sqrt 3 }}{6} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích \(\Delta AKI\) là \(S = \frac{1}{2}AI \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot \frac{{3R}}{2} \cdot \frac{{2R\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\).