(1,5 điểm): Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) và \(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - \sqrt x }}\) với \(x > 0;x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\).

3) Xét biểu thức \(P = A + \frac{1}{B}\). Tìm \(x\)để  \(P \ge 1\).

Biểu thức \(A\) được cho là: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

Thay \(x = 4\) vào biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị của \(A\) khi \(x = 4\) là \(\frac{1}{2}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Biểu thức \(B\) được cho là:

\(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - \sqrt x }}\)

\(B = \frac{2}{{(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x  - \sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Điều phải chứng minh

3) Ta có: \(P = A + \frac{1}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}\) với

\(P = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 \Rightarrow x \ge \sqrt x  + 2 \Rightarrow x - \sqrt x  - 2 \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\sqrt x  \ge 2\)

\( \Rightarrow x \ge 4\)

Kết hợp với điều kiện ta đc \(x \ge 4\) thì \(P \ge 1\)