Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 15

Bước 1: Xác định không gian mẫu (S)

Không gian mẫu \(S\) là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Vì hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, nên:

\(S = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \)

Số phần tử của không gian mẫu là \(|S| = 10\).

Bước 2: Xác định biến cố \(A\)

Biến cố \(A\) là việc viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố. Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là:\(\{ 2,3,5,7\} \)

Vậy biến cố \(A\) là tập hợp:\(A = \{ 2,3,5,7\} \)

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(|A| = 4\).

Bước 3: Tính xác suất của biến cố \(A\)

Xác suất của biến cố \(A\) được tính bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố \(A\) và số phần tử của không gian mẫu \(S\):

\(P(A) = \frac{{|A|}}{{|S|}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\)

Kết luận: Xác suất để lấy được một viên bi có số ghi trên đó là số nguyên tố là \(\frac{2}{5}\).

Biểu thức \(A\) được cho là: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

Thay \(x = 4\) vào biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị của \(A\) khi \(x = 4\) là \(\frac{1}{2}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Biểu thức \(B\) được cho là:

\(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - \sqrt x }}\)

\(B = \frac{2}{{(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x  - \sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Điều phải chứng minh

3) Ta có: \(P = A + \frac{1}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}\) với

\(P = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 \Rightarrow x \ge \sqrt x  + 2 \Rightarrow x - \sqrt x  - 2 \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\sqrt x  \ge 2\)

\( \Rightarrow x \ge 4\)

Kết hợp với điều kiện ta đc \(x \ge 4\) thì \(P \ge 1\)

 Bài toán có thể được giải bằng cách lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Gọi \(x\) là số học sinh đăng ký dự thi vào trường A

Gọi \(y\) là số học sinh đăng ký dự thi vào trường B

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

+) Tổng số học sinh đăng ký dự thi là 1850 học sinh: \(x + y = 1850\)

+) Tổng số học sinh trúng tuyển là 680 học sinh. Số học sinh trúng tuyển tại trường A chiếm 30% số học sinh đăng ký vào trường A, và tại trường B chiếm 80% số học sinh đăng ký vào trường B: \(0,3x + 0,8y = 680\)

Giải hệ phương trình này, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1850}\\{0,3x + 0,8y = 680}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất, ta có:\(y = 1850 - x\)

Thay \(y = 1850 - x\) vào phương trình thứ hai ta được:

\(0,3x + 0,8(1850 - x) = 680\)

\(0,3x + 0,8 \cdot 1850 - 0,8x = 680\)

\(0,3x + 1480 - 0,8x = 680\)

\( - 0,5x + 1480 = 680\)

\( - 0,5x = 680 - 1480\)

\( - 0,5x =  - 800\)

\(x = \frac{{ - 800}}{{ - 0,5}} = 1600\)

+) Tìm \(y = 1850 - 1600 = 250\)

Vậy số học sinh đăng ký dự thi vào:

- Trường A là 1600 học sinh.

- Trường B là 250 học sinh.