(0,5 điểm) Chứng minh rằng:\(\frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b + a} \right)} }} \ge \frac{1}{2}\) với \[a,b\] là các số dương .

Ta có: \(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} = \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }}(1)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  \le \frac{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}(3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{2} = \frac{{7a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{2}{\rm{ }}\left( 2 \right)\\\sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}  \le \frac{{4b{\rm{ }} + {\rm{ }}(3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a)}}{2} = \frac{{7b{\rm{ }} + {\rm{ }}a}}{2}{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (2) và (3) suy ra: \(\sqrt {4a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {4b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)}  \le 4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b{\rm{ }}\left( 4 \right)\)

Từ (1) và (4) suy ra:

\(\frac{{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b}}{{\sqrt {a\left( {3a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)}  + \sqrt {b\left( {3b{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right)} }} \ge \frac{{2(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b)}}{{4a{\rm{ }} + {\rm{ }}4b}} = \frac{1}{2}\).

 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\].