(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\) với \(x \ge 0,\,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức A tại \(x = 9\).

2) Rút gọn biểu thức B.

3) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} = \frac{x}{4} + 5\).

1) Thay \(x = 9\left( {TM} \right)\) vào biểu thức A, ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 4}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{3 + 4}}{{3 - 1}} = \frac{7}{2}\)

Vậy \(A = \frac{7}{2}\) tại \(x = 9\).

2) Ta có \(B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\)với \(x \ge 0,\,x \ne 1\).\(\frac{A}{B} = \frac{x}{4} + 5\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\end{array}\)

3) Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{1} = \sqrt x  + 4\)

Để

 \(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{x}{4} + 5\\ \Rightarrow \sqrt x  + 4 = \frac{x}{4} + 5\\4\sqrt x  + 16 = x + 20\\x - 4\sqrt x  + 4 = 0\\\sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy để \(\frac{A}{B} = \frac{x}{4} + 5\) thì \(x = 4\).