(1,5 điểm)  

Với \(x > 0\), cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 2\sqrt x }}{x}\) và \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x }}\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

b) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}}\) .

c) Tìm số nguyên \(x\) nhỏ nhất để \(\frac{A}{B} < \frac{7}{4}\).

Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ gồm diện tích xung quanh của hình nón và diện tích của vành nón.

Bán kính đường tròn đáy của hình nón: \(r = \frac{{35 - 2.10}}{2} = 7,5\) (cm)

Diện tích xung quanh hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .7,5.30 = 225\pi \)(cm2)

Diện tích vành nón (hình vành khăn): \(\pi .{\left( {\frac{{35}}{2}} \right)^2} - \pi .{\left( {7,5} \right)^2} = 250\pi \) (cm2)

Diện tích vải cần để may: \(225\pi  + 250\pi  = 475\pi \)(cm2).

Vì tỉ lệ vải khâu (may) hao (tốn) khi may nón là \[15\% \]nên diện tích vải thực tế cần dùng là:

\(475\pi  + 15\% .475\pi  = 546,25\pi  \approx 546,25.3,14 = 1715,225\) (cm2).                 

Trường hợp 1. Nếu thiết kế bao bì dạng hình trụ.

 Ta gọi, \(R\): bán kính hình trụ; \(l\): chiều cao hình trụ

Thể tích của hình trụ là: \(V\, = \,\pi {R^2}l\, = \,100\,\left( {{\rm{ml}}} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_{tp}}\, = \,2\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\, = \,\pi Rl\, + \,\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: \(\pi Rl\,;\,\,\pi Rl\,;\,\,2\pi {R^2}\) ta được

\({S_{tp}}\,\, = \,\pi Rl\, + \,\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\, \ge \,3\sqrt[3]{{\pi Rl\,.\,\pi Rl\,.2\pi {R^2}}}\,\, = \,3\sqrt[3]{{2\pi \,\,.{{\left( {\pi {R^2}l} \right)}^2}}}\,\)    

\({S_{tp}} \ge \,\,3\sqrt[3]{{2\pi \,.\,{{100}^2}}}\, \approx \,119,27\)        \(\left( 1 \right)\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\pi Rl\, = \,\pi Rl\, = \,2\pi {R^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,l\, = \,2R\)

Trường hợp 2. Nếu thiết kế bao bì dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông

Ta gọi, \(a\) là độ dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật; \(h\)là chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V\,\, = \,{a^2}.h\, = \,100\,\;{\rm{ml}}\)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \({S_{tp}}\, = \,2{a^2}\, + \,4ah\, = \,2{a^2}\, + \,2ah\, + \,2ah\)

Áp dụng b.đ.t Cô-Si cho ba số không âm :\(2{a^2}\,;\,2ah\,;\,2ah\)ta được:

\({S_{tp}}\, = \,2{a^2}\, + \,2ah\, + \,2ah\,\, \ge \,3\sqrt[2]{{2{a^2}.2ah\,.\,2ah}}\, = \,3\sqrt[3]{{8{a^2}h.{a^2}h}}\)

\({S_{tp}}\, \ge \,3.2.\,\sqrt[3]{{{{100}^2}}}\, \approx \,\,129,27\,\,\,\,\,\,\,\)\(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra, thiết kế hộp sữa dạng hình trụ có chiều cao gấp 2 lần bán kính đáy thì tốn ít nguyên vật liệu nhất.