(0,5 điểm) Công ty sữa muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích \(100\;{\rm{ml}}\). Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào thì tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Trường hợp 1. Nếu thiết kế bao bì dạng hình trụ.

 Ta gọi, \(R\): bán kính hình trụ; \(l\): chiều cao hình trụ

Thể tích của hình trụ là: \(V\, = \,\pi {R^2}l\, = \,100\,\left( {{\rm{ml}}} \right)\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_{tp}}\, = \,2\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\, = \,\pi Rl\, + \,\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: \(\pi Rl\,;\,\,\pi Rl\,;\,\,2\pi {R^2}\) ta được

\({S_{tp}}\,\, = \,\pi Rl\, + \,\pi Rl\, + \,2\pi {R^2}\, \ge \,3\sqrt[3]{{\pi Rl\,.\,\pi Rl\,.2\pi {R^2}}}\,\, = \,3\sqrt[3]{{2\pi \,\,.{{\left( {\pi {R^2}l} \right)}^2}}}\,\)    

\({S_{tp}} \ge \,\,3\sqrt[3]{{2\pi \,.\,{{100}^2}}}\, \approx \,119,27\)        \(\left( 1 \right)\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(\pi Rl\, = \,\pi Rl\, = \,2\pi {R^2}\,\, \Leftrightarrow \,\,l\, = \,2R\)

Trường hợp 2. Nếu thiết kế bao bì dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông

Ta gọi, \(a\) là độ dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật; \(h\)là chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Thể tích của hình hộp chữ nhật là: \(V\,\, = \,{a^2}.h\, = \,100\,\;{\rm{ml}}\)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \({S_{tp}}\, = \,2{a^2}\, + \,4ah\, = \,2{a^2}\, + \,2ah\, + \,2ah\)

Áp dụng b.đ.t Cô-Si cho ba số không âm :\(2{a^2}\,;\,2ah\,;\,2ah\)ta được:

\({S_{tp}}\, = \,2{a^2}\, + \,2ah\, + \,2ah\,\, \ge \,3\sqrt[2]{{2{a^2}.2ah\,.\,2ah}}\, = \,3\sqrt[3]{{8{a^2}h.{a^2}h}}\)

\({S_{tp}}\, \ge \,3.2.\,\sqrt[3]{{{{100}^2}}}\, \approx \,\,129,27\,\,\,\,\,\,\,\)\(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra, thiết kế hộp sữa dạng hình trụ có chiều cao gấp 2 lần bán kính đáy thì tốn ít nguyên vật liệu nhất.