(0,5 điểm) Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên, bỏ qua độ rộng của cạnh khuôn gỗ) là 8m. Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất.

Gọi \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].

Khi đó \[O\] là giao điểm 3 đường phân giác.

Mà \[\Delta ABC\] đều nên \[AH\]là  đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.

 Do đó \[O\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] và  \[AH = 3.OH = 3.R\].

và \[\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC\]

Xét \[\Delta HAC\]vuông tại \[H\]ta có

\[HC = AH.\tan 30^\circ  = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3 \]

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{  = 3}}\sqrt 3 {R^2}\]

\[1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,\]

\[R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15,2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]

Chu vi đường tròn (O) là \[2.3,14.15,2 \approx 95,5\](m)

               Vậy bán kính \[\left( O \right)\]là \[15,2\]m; chu vi là \[95,5\]m.

Vì chỉ số của Zn và H ở hai bên phương trình phản ứng bằng nhau, nên ta chỉ quan tâm đến chỉ số của N và O

           Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với N và O, ta có hệ phương trình:

           \[\left\{ \begin{array}{l}4y = 2x + 2\\12y = 6x + 2 + 2y\end{array} \right.\]                                                                                                  (0,25 điểm)

           \[\left\{ \begin{array}{l}4y - 2x = 2\\10y - 6x = 2\end{array} \right.\]

           \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

           Nhân \[2\] vế pt \[\left( 1 \right)\]với \[3\] ta được hệ pt: \[\left\{ \begin{array}{l}6y - 3x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\]

           Trừ từng vế \[2\] pt trên ta được \[y = 2\]

           Thay \[y = 2\] vào pt \[\left( 1 \right)\]ta được \[x = 3\]

           Vậy ta có phương trình sau cân bằng \[3Zn + 8HN{O_3} \to 3Zn{(N{O_3})_2} + 2NO + 4{H_2}O\]