Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 28

1)  (0,5 điểm) \(A = 2\sqrt {48}  + 3\sqrt {75}  - 2\sqrt {108}  = 11\sqrt 3 \)  

2) (0,5 điểm)  (\[P = \left( {\frac{3}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right).\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{9}{{\sqrt {4x} }}} \right) - 1\] (với x > 0, x ¹ 9)

= \[\frac{{3\sqrt x  + 9 - \sqrt x  - 3}}{{x - 9}}.\frac{{x - 9}}{{2\sqrt x }} - 1\] = \[\frac{{2\sqrt x  + 6}}{{2\sqrt x }} - 1\]

= \[\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x  + 3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{3}{{\sqrt x }}\].

Vậy P = \[\frac{3}{{\sqrt x }}\] với x > 0, x ¹ 9

3)    (0,5 điểm) Giải hệ phương trình NH-2024-GV48: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\,\,\,\,\,\\3x - 7y =  - 10\,\end{array} \right.\)

                     \(\left\{ \begin{array}{l} - 6x + 18y = 24\,\,\,\,\\6x - 14y =  - 20\,\end{array} \right.\)                 \(\left\{ \begin{array}{l}4y = 4\,\,\,\,\\6x - 14y =  - 20\,\end{array} \right.\)    \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

      Gọi đường kính của nửa hình tròn là  \[x\,(m;\,\,0 < x < 8)\]

 Khi đó bán kính: \[\frac{x}{2}\,(m)\]

     Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \[y\,\,(m;\,0 < y < 8)\]

    khi đó tổng độ dài của khuôn gỗ

    \[\begin{array}{l}\frac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\\\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\\y = 4 - \left( {\frac{{\pi  + 2}}{4}} \right)x\end{array}\]

  S cửa sổ   \[S = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + xy = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + xy\]

\[\frac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\frac{{\pi  + 2}}{4}} \right)x} \right]\]

    = … =  \[ - \frac{{\pi  + 4}}{8}{\left( {x - \frac{{16}}{{\pi  + 4}}} \right)^2} + \frac{{32}}{{\pi  + 4}} \le \frac{{32}}{{\pi  + 4}}\]    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   \[x = \frac{{18}}{{\pi  + 4}}\]  nên  \[y = \frac{8}{{\pi  + 4}}\]

a) (0,5 điểm) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: \({f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\%  = 13,33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\%  = 30\% \)

\({f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\%  = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\%  = 16,67\% \)

b) (0,5 điểm) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

c) (0,5 điểm)

PT: \({x^2} - 5x - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)

           Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}.{x_2} =  - 6}\end{array}} \right.\)

           Khi đó: A = \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\) = \(\frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}\)

           A = \(\frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\) =  \(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)

           Vậy: A = \(\frac{{{5^2} - 2.( - 6) - 5}}{{ - 6 - 5 + 1}} = \frac{{ - 16}}{5}\)

Vì chỉ số của Zn và H ở hai bên phương trình phản ứng bằng nhau, nên ta chỉ quan tâm đến chỉ số của N và O

           Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với N và O, ta có hệ phương trình:

           \[\left\{ \begin{array}{l}4y = 2x + 2\\12y = 6x + 2 + 2y\end{array} \right.\]                                                                                                  (0,25 điểm)

           \[\left\{ \begin{array}{l}4y - 2x = 2\\10y - 6x = 2\end{array} \right.\]

           \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

           Nhân \[2\] vế pt \[\left( 1 \right)\]với \[3\] ta được hệ pt: \[\left\{ \begin{array}{l}6y - 3x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\]

           Trừ từng vế \[2\] pt trên ta được \[y = 2\]

           Thay \[y = 2\] vào pt \[\left( 1 \right)\]ta được \[x = 3\]

           Vậy ta có phương trình sau cân bằng \[3Zn + 8HN{O_3} \to 3Zn{(N{O_3})_2} + 2NO + 4{H_2}O\]

Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào hai khoản trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là \[x\] (triệu đồng), \[y\] (triệu đồng) (\[x > 0\], \[y > 0\])                                                                           

           Theo bài ra, bác Lan có \[500\] triệu đồng để đầu tư vào \[2\] khoản nên ta có phương trình:

\[x + y = 500\] \[\left( 1 \right)\]                                                                                              

Mặt khác, số tiền đầu tư vào \[2\] khoản có lãi suất lần lượt là \[7\% /\]năm và \[6\% /\]năm và tổng số tiền lãi \[1\] năm nhận được là \[32\] triệu đồng  nên ta có pt:

\[7\% .x + 6\% .y = 32\]hay\[7.x + 6.y = 3200\] \[\left( 2 \right)\]                                                   

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ pt: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\7x + 6y = 3200\end{array} \right.\]

Từ pt (1), ta có: \[y = 500 - x\]

Thế \[y = 500 - x\]vào pt \[\left( 2 \right)\] ta được: \[7.x + 6.(500 - x) = 3200\]

\[x + 3000 = 3200\]

\[x = 200\](TMĐK)

Thay\[x = 200\] vào pt \[y = 500 - x\], ta có:

\[y = 500 - 200 = 300\](TMĐK)