Cho Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{6\sqrt x }}{{9 - x}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)(với \(x \ge 0;x \ne 9\))

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 49\).

2) Rút gọn \(B\).

3)  Cho \(M = A \cdot B\). Tìm \(x\) để \(M\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là \(x\)(m) (\(x > 0\))

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là \(4x\)(m).

Gọi chiều cao của bể là \(y\) (m, \(y > 0\)).

Thể tích của bể là \[V = 4x.x.y = 400\] suy ra \[{x^2}.y = 100\] suy ra\[y = \frac{{100}}{{{x^2}}}\].

Diện tích xây dựng của bể là \[S = 4{x^2} + 2\left( {x + 4x} \right)y\]\[ = 4{x^2} + 10xy\]\[ = 4{x^2} + 10.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x\]\[ = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}\]

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm \(x,y\) ta có \({\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} \ge 0\)nên \(x + y - 2\sqrt {xy}  \ge 0\) suy ra \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \), dấu bằng xảy ra khi \[x = y\]):

Ta có \[S = 4{x^2} + \frac{{1000}}{x}\]\[ = \left( {4{x^2} + 100} \right) + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ \ge 2\sqrt {4{x^2}.100}  + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ = 40x + \frac{{1000}}{x} - 100\].

Và \[S \ge 40x + \frac{{1000}}{x} - 100\]\[ \ge 2\sqrt {40x.\frac{{1000}}{x}}  - 100\]\[ = 400 - 100 = 300\].

Khi đó \({S_{\min }} = 300\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} = 100}\\{40x = \frac{{1000}}{x}}\end{array}} \right.\] suy ra  \[x = 5\]

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là \[300.500\,000 = 150\,000\,000\] đồng \( = 150\)triệu đồng

a) Chiều cao của hộp hình trụ: \(3.6,2 = 18,6{\rm{ }}\left( {cm} \right)\)

Bán kính của hình tròn đáy hình trụ: \(6,2:2 = 3,1{\rm{ }}\left( {cm} \right)\)

Thể tích của hộp hình trụ là: \(V = \pi {R^2}h \approx {3,14.3,1^2}.18,6\)\( \approx 561,3{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\)

b) Thể tích của 3 quả bóng tenis là: \(V = 3.\frac{4}{3}\pi {R^3}\)\( \approx 3.\frac{4}{3}{.3,14.3,1^3}\)\( \approx 93,5{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích phần không gian còn trống bên trong là: \(561,3 - 93,5 = 467,8{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\)