Cho Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x  - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{6\sqrt x }}{{9 - x}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)(với \(x \ge 0;x \ne 9\))

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 49\).

2) Rút gọn \(B\).

3)  Cho \(M = A \cdot B\). Tìm \(x\) để \(M\) đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐK: \(x \ge 0;x \ne 9\)

1) Với \(x = 49\)(TMĐK) nên \(\sqrt x  = 7\) Thay vào \(A\) ta được:

\(A = \frac{{49 + 7}}{{7 - 3}}\)

\(A = 14\)

2)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{6\sqrt x }}{{9 - x}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{6\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{6\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 3) - 6\sqrt x  - 3(\sqrt x  - 3)}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{x + 3\sqrt x  - 6\sqrt x  - 3\sqrt x  + 9}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{{{(\sqrt x  - 3)}^2}}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)

3) Ta có \(M = A.B = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x  - 3}}.\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(M = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(M = \frac{{x - 9 + 16}}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(M = \sqrt x  - 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}\)

\(M = \sqrt x  + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} - 6\)

Với a,b \( \ge 0\) ta có  \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) nên \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Dấu bằng xảy ra khi a = b

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \(x \ge 0\)nên \(\sqrt x  + 3 > 0,\frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} > 0\)

Do đó \(\sqrt x  + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 2\sqrt {(\sqrt x  + 3).\frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}}  = 8\)

 \(\sqrt x  + 3 + \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}} - 6 \ge 8 - 6 = 2\)

Nên M\( \ge 2\) Suy ra Min M= 2 khi

\(\sqrt x  + 3 = \frac{{16}}{{\sqrt x  + 3}}\)  

\({(\sqrt x  + 3)^2} = 16\)

\(\sqrt x  + 3 = 4\)

\(\sqrt x  = 1\)