Cho \(\Delta ABC\) có \[3\] góc nhọn và đường cao \(BE\). Gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(E\) đến \(AB,AC.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BHEK\) nội tiếp;

b) Chứng minh:\[BH.BA = BK.BC;\]

c) Gọi \(F\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\), \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng\[EF\]. Chứng minh rằng \(H,I,K\) thẳng hàng.

a) Ta có \(\widehat {BHE} = 90^\circ \) nên \(3\) điểm \(B\), \(H\), \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

\(\widehat {BKE} = 90^\circ \) nên \(3\) điểm \(B\),K, \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

Nên \(4\) điểm \(B\), \(H\), \(K\), \(E\) nằm trên đường tròn đường kính \(BE\)

Suy ra \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp

b) Vì \(BHEK\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BHK} = \widehat {BEK}\) (góc nội tiếp

cùng chắn ) mà \(\widehat {BEK} = \widehat {BCE}\) (cùng phụ \(\widehat {KEC}\))

\( \Rightarrow \widehat {BHK} = \widehat {BCE}\)

+) Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BCA\) có \(\widehat B\) chung; \(\widehat {BHK} = \widehat {BCA}\)

\(\Delta BHK\) đồng dạng \(\Delta BCA(g.g) \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BK}}{{BA}} \Rightarrow BH.BA = BK.BC;\)

c) Giả sử\(HK\) cắt \(CF\) tại \[M\]. Ta chỉ việc chứng minh \(HM\) đi qua trung điểm I của EF

- Vì \(BHEK\) nội tiếp \(\widehat {HBE} = \widehat {HKE}\) (góc nội tiếp cùng chắn )

- \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\) (cùng phụ với \(\widehat A\)) \( \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MCE}\)

Giả sử \(CM\) cắt \(KE\) tại \(N\)

Ta có \(\Delta MNK\) đồng dạng \(\Delta ENC\)(g-g) suy ra \(\frac{{NM}}{{NC}} = \frac{{NK}}{{NE}}\)

Xét \(\Delta MNE\)và \(\Delta KNC\) có

\(\frac{{NM}}{{NC}} = \frac{{NK}}{{NE}}\); \(\widehat {MNE} = \widehat {KNC}\)(đối đỉnh)

Suy \(\widehat {ENC} = \widehat {EKC}\) mà \(\widehat {EKC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {EHF} = \widehat {HFM} = \widehat {FME} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow EHFM\) là hình chữ nhật mà \(I\) là trung điểm của đường chéo \(EF \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HM\)

\( \Rightarrow H,I,M,K\) thẳng hàng.