(1,5 điểm) Cho hai biểu thức  và \(A = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\)\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2x}}{{x - 9}}\) với \(x > 0;x \ne 9\).

1)  Tính giá trị của biều thức \(A\) khi \(x = 16\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

3)     Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P < 0\) với \(P = A.B\).

\(A = \frac{{\sqrt {16}  - 2}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{4 - 2}}{4} = \frac{1}{2}\).

2)       Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

Ta có: \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2x}}{{x - 9}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 2x}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 2x}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\B = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\end{array}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

3)       Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(P < 0\) với \(P = A.B\).

Ta có: \(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}}\).

Để \(P < 0\) thì \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} < 0\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 9\end{array} \right.\) Nên \(\sqrt x  + 3 > 0\)

Do đó: \(\sqrt x  - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 2 \Leftrightarrow x < 4\).

Kết hợp với điều kiện \(x > 0\), ta có: \(0 < x < 4\).

Vì \(x\) nhận giá trị nguyên nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).