(2,5 điểm)

Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ \(A\) đến \(B\). Biết tốc độ của xe du lịch lớn hơn tốc độ xe khách là \(20\,{\rm{km/h}}\), do đó xe du lịch đến \(B\) trước xe khách \(50\) phút. Tính tốc độ của mỗi xe, biết quãng đường \(AB\) dài \(100\,{\rm{km}}\).

Gọi thời gian  tổ I, tổ II làm một mình xong công việc đó lần lượt là \(x,\,\,y\)( giờ, \(x,\,\,y > 12\))

Năng suất 1 giờ tổ I là: \[\frac{1}{x}\](công việc)

Năng suất 1 giờ tổ II là: \[\frac{1}{y}\] (công việc)

Năng suất 1 giờ cả hai tổ là : \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\] (công việc)  (1)

Vì tổ I làm một mình trong \[2\] giờ, tổ II làm một mình trong \[7\] giờ thì cả hai làm xong một nửa công việc nên ta có: \[\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}\] (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{5}{y} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{60}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 15\end{array} \right.\](thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy tổ I làm một mình trong 60 giờ thì xong công việc , tổ II làm một mình trong  15 giờ thì xong công việc.

Ta có \(\Delta {\rm{'}} = {\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m =  - m + 4\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta {\rm{'}} \ge 0\) hay \( - m + 4 > 0\) suy ra \(m < 4\).

Khi đó theo Viète ta có:  

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2\left( {m - 2} \right)}}{m}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{m}\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2 + \frac{4}{m}\\{x_1}{x_2} = 1 - \frac{3}{m}\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - 6 + \frac{{12}}{m}\,\,\left( 1 \right)\\4{x_1}{x_2} = 4 - \frac{{12}}{m}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Công hai vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \[3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4{x_1}{x_2} =  - 2\]

Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.