Trong không gian \(Oxyz\), đơn vị độ dài trên mỗi trục là mét, xem mặt đất là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), một quả bóng dược sút lên từ vị trí điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) theo quỹ đạo parabol lên độ cao lớn nhất \(h\) (đơn vị là mét) so với mặt đất. Biết trục đối xứng của parabol là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 44 + 3t\\y = 27 - 4t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và một điểm nằm trên parabol là \(B\left( {19;2;2} \right)\). Tính giá trị của \(h\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 3,92.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {18;1;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{18}^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt {329} \).

Gọi \(M = \Delta  \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow {z_M} = 1 + {t_M} = 0 \Leftrightarrow {t_M} =  - 1 \Rightarrow M\left( {41;31;0} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {AM}  = \left( {40;30;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{{40}^2} + {{30}^2} + {0^2}}  = 50\).

Gọi  là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\):

\(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {3 \times 0 + 4 \times 0 - 1 \times 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2}}  \times \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {26} }}{{26}}\).

Tích có hướng giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {AM} \]:

\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{30}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{18}\\0&{40}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{18}&1\\{40}&{30}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 60;80;500} \right)\].

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(AM\):

\[d\left( {B,AM} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 60} \right)}^2} + {{80}^2} + {{500}^2}} }}{{\sqrt {{{40}^2} + {{30}^2} + {0^2}} }} = 2\sqrt {26} \].

Xét hệ trục mới \[{O_1}{x_1}{y_1}\] với \[{O_1} \equiv A\], \[{O_1}{x_1} \bot \Delta \] và \[{O_1}{y_1}\,{\rm{//}}\,\Delta \].

Parabol \[\left( P \right)\] qua hai điểm \[{O_1}\left( {0;0} \right)\] và \[N\left( {100;0} \right)\]

\[ \Rightarrow \left( P \right):y = ax\left( {x - 100} \right) \Leftrightarrow y = a{x^2} - 100ax\]\[\left( {a \ne 0} \right)\].

Độ cao lớn nhất \(h\) cần tính: \[h = \left| {{y_E}} \right|.\sin \alpha \] với \[E\] là đỉnh của \[\left( P \right)\].

Lại có: \({x_E} = 50 \Rightarrow {y_E} = a \times {50^2} - 100 \times a \times 50 =  - 2500a\).

Trong mặt phẳng \[\left( {{O_1}{x_1}{y_1}} \right)\], điểm \[{B_1}\] tương ứng của điểm \[B\] có tọa độ:

\[\left\{ \begin{array}{l}{y_{{B_1}}} = d\left( {B,AM} \right) = 2\sqrt {26} \\{x_{{B_1}}} = \sqrt {A{B^2} - {d^2}\left( {B,AM} \right)}  = \sqrt {329 - 104}  = 15\end{array} \right. \Rightarrow {B_1}\left( {15;2\sqrt {26} } \right)\].

Điểm \[{B_1} \in \left( P \right) \Rightarrow 2\sqrt {26}  = a \times 225 - 100 \times a \times 15 \Leftrightarrow a =  - \frac{{2\sqrt {26} }}{{1275}}\].

Do đó: \[{y_E} = \left( { - 2500} \right) \times \left( { - \frac{{2\sqrt {26} }}{{1275}}} \right) = \frac{{200\sqrt {26} }}{{51}}\].

Vậy \[h = \frac{{200\sqrt {26} }}{{51}} \times \frac{{\sqrt {26} }}{{26}} = \frac{{200}}{{51}} \approx 3,92\] (mét).