a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x} \).

b) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 18\) và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(y' = 2\sqrt {{x^2} + x}  + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}\)\[ = \frac{{4{x^2} + 4x + 4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]

Vậy \[y' = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.\]

b) Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\), \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = 18\\g'\left( 2 \right) = 1000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018\).

Vậy \(h'\left( 1 \right) = 2018\) hay hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(h\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng 2018.